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化归思想在高中数学函数学习中的运用研究
时间:2019-09-27
摘 要:在高中数学函数学习中,化归思想是一种重要的数学思维方式,将其用在函数知识学习中,能够让学生在学习函数知识的同时提升自己的数学思维能力.本文从化归思想的相关内容展开,通过列举例题的方式,阐述如何在高中数学函数学习中应用化归思想.以进一步提升自己的数学思维能力,更好的学习函数知识.
关键词:化归思想;高中数学;函数学习;运用
在解决数学问题时,不可避免的会用到化归思想,化归思想对于数学知识的学习意义重大.在高中数学函数知识学习中,只要深入掌握了化归思想,函数对于我们来说便不是难点.在此种思想的指引下,我们不管遇到了多么困难的问题,也能够迎刃而解.因此,在函数知识学习中,我们必须要重视化归思想的应用.
1 化归思想
化归思想,本质上是一种转换思想,在函数学习中应用此种思想,能够将题设中的问题,转化成为自己已经学习过或者是已经掌握了的知识,进而准确的解答出题设问题.化归思想在解决问题时,具有较强的彻底性,并且能够对未知问题进行模式化和规范化解答.在应用化归思想时,首先要将未知问题转化成已经学过的知识,对问题进行化归处理,依据题设条件合理进行转变,以便形成有利的问题解决环境,对问题进行简化处理,进而解决掉问题.化归思想本身具有很强的复杂性,在解决实际问题时,单纯的对问题或者是对条件进行化归处理,往往不能够达到理想效果.[1]因此,在函数学习中应用化归思想时,需要立足实际问题和题设给出的已知条件,对问题和条件同时进行化归处理,以此来提升自己解决函数的能力.并在此过程中,积累相应的数学方法,塑造相应的数学思维.
比如,在学习函数知识时,我们想要解决正切函数的周期性问题,便可以通过采用化归思想,将正切函数周期性问题转化为余弦函数和正弦函数周期性问题.在学习正切函数知识前,我们已经学习了余弦函数和正弦函数的相关知识点,已经掌握了这两种函数的周期均是2π,然后再利用余弦函数和正弦函数的相关知识点来求正切函数的周期,这样便能够解答出初始问题.在此过程中,虽然有一定的复杂度,但是每一个人都能够使用此种方法将未知问题转化为熟悉问题,进而进行相关题目的解答.并且,化归思想掌握起来比较简单,只要经过一定的训练,每一个人都能够熟练掌握并应用此种方法.
2 在高中数学函数学习中如何应用化归思想
(1)数与形的转化:在高中函数知识学习中,我们不仅会学习与函数知识相关的数字关系以及数字表达式,而且还会学习与具体函数知识相关的函数图形,比如,正弦函数图形,余弦函数图形以及正切函数图形等.在学习利用这些知识解决具体的函数问题时,可以利用化归思想,实现数与形之间的相互转化.[2]数与形转换应用的具体情况如例题 1 所示.
例题1 :在函数 = 中,假如有|f(x)| ≥ ax,试求 a 的取值范围.A、(- ∞,0] B、(- ∞,1] C、[-2,1] D、[-2,0]
解析:通过分析题设条件可以发现,此道问题用纯粹的数字推理和计算方法来解决比较困难.为了降低解题难度,减少解题时间,可以在此道题目的解答过程中应用到化归思想.在解答此道题目时,我们首先要画出函数 f(x)的图像,由题设可知,函数 f(x)的图像是由两部分组成的,在画出图像之后,将其在 x 轴之下的部分进行轴对称作图,从而得到 f(x)的完整图像,从而便可以得到 |f(x)| ≥ ax 是恒成立的.然后结合图像可以得出, a 必然是小于或者是等于 0 的,然后再对其进行分别分析.当 x < 0 时,函数 |f(x)| 的图像也必然是在直线 y=ax 的图像之上的,此时不能够忘记图像之间的相切情况,从而得出 a 的准确值是 -2,最后结合图像和分析计算结果得出,a的取值范围是[-2,0].所以,此题目的正确答案是 D.
(2)题根转化:在函数知识学习中数与形之间的转化最为常见.但在遇到复杂的函数题目时,还会用到题根的转化.比如在学习反比例函数、一次函数、二次函数以及三角函数等知识时,题根的转化便能够有效解决高中函数中的大部分问题.当在练习相关函数题目时,尤其是遇到复合函数时,更加要注意使用此种方法,利用题根转化方式来简化题目,进而达到解决问题的目的.题根转化应用的具体过程如例题 2 所示.
例题 2:k 属于实数,并且 k 满足方程 x4-2kx2+k2+2k-3=0 具有实数根的条件,试求 k 的取值范围.
解析:通过观察方程式可以发现,此道题目是典型的二次函数问题,因此,其根也必然是二次函数.所以,在解答此道题目时,需要对题设条件进行转化,将其看做是 x 的四次方程,是 k 的二次方程,然后将原方程 x4-2kx2+k2+2k-3=0 转化为 k2+2(1-x2)k+x4-3=0,(k ∈ R).要保证此方程有根,就必须要让△=[2(1-x2)]22-4(x4-3)≥ 0,由此便可以得到- 2≤ x ≤2,所以 k 的取值范围是 - 2≤ k ≤ 2.
3 结语
在高中函数知识学习中,化归思想经常会用到.其能够有效简化函数题目,帮助我们更好的学习函数知识,提升函数问题解题能力.要想学习好函数知识,每一个人都必须要深入掌握化归思想,并学会灵活应用此种思想.
参考文献:
[1] 史林可 . 化归思想在高中数学函数学习中的运用 [J]. 科技风 ,2017(03):205.
[2] 蒋瑭涵 . 化归思想在高中数学函数学习中的运用 [J]. 求知导刊 ,2015(12):116.
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